Solving $X^2-6Y^2=Z^3$ in positive integers
I’m trying to solve the Diophantine equation $$X^2-6Y^2=Z^3 \tag{$\star$}$$ in positive integers $x,y,z$.
Brute force calculations confirm the naïve intuition that there are many [read: surely infinite!] primitive solutions; numerical observation suggests the solutions have determinable [perhaps even “descent”- or “recurrence”-based?] patterns. For example, one “stream” of solutions is $$(x,y,z) \in \{(5,2,1),\ (49,20,1),\ (485,198,1),\ (4801,1960,1),\dots\},$$ where $z=1$ and the $(x_n,y_n)$ satisfy the recurrence $t_n = 10t_{n-1}-t_{n-2}$. Another such stream exists for $z=19$, another for $z=25$, etc.
Evidently, ($\star$) is related to [but different from] the Pellian equation $$X^2-6Y^2=Z^2,$$ so I’m wondering:
Question #1: Is a complete solution already known, either for the equation or for one of the variables (e.g. characterization of $z$)?
Question #2: If not, what are the most promising ways to attack the problem?
The represented numbers can be described explicitly; this is what becomes possible when there is one class per genus of the discriminant. There are two genera, one form each. We know $x^2 - 6 y^2.$ the other genus has $ -x^2 + 6 y^2.$ This may be unfamiliar; for example, a form and its "negative" are sent to just one ideal in the appropriate quadratic field.
We name three types of (positive) primes. "Good" primes are $3$ along with all primes $p \equiv 1, 19 \pmod {24}$ "Medium" primes are $2$ along with all primes $p \equiv 5, 23 \pmod {24}$ "Bad" primes are all primes $p \equiv 7, 11, 13, 17 \pmod {24}$
A positive number is integrally represented by $x^2 - 6 y^2$ when every bad prime has an even exponent and the sum of all exponents for medium primes is even. The exponents of good primes don't do any harm.
1 = 1
1 = 1
3 = 3 3: good
4 = 2^2 2: med
4 = 2^2 2: med
9 = 3^2 3: good
9 = 3^2 3: good
10 = 2 5 2: med 5: med
10 = 2 5 2: med 5: med
12 = 2^2 3 2: med 3: good
16 = 2^4 2: med
16 = 2^4 2: med
19 = 19 19: good
19 = 19 19: good
25 = 5^2 5: med
25 = 5^2 5: med
25 = 5^2 5: med
25 = 5^2 5: med
27 = 3^3 3: good
30 = 2 3 5 2: med 3: good 5: med
30 = 2 3 5 2: med 3: good 5: med
36 = 2^2 3^2 2: med 3: good
36 = 2^2 3^2 2: med 3: good
40 = 2^3 5 2: med 5: med
40 = 2^3 5 2: med 5: med
43 = 43 43: good
43 = 43 43: good
46 = 2 23 2: med 23: med
46 = 2 23 2: med 23: med
48 = 2^4 3 2: med 3: good
49 = 7^2 7: bad
49 = 7^2 7: bad
57 = 3 19 3: good 19: good
57 = 3 19 3: good 19: good
58 = 2 29 2: med 29: med
58 = 2 29 2: med 29: med
64 = 2^6 2: med
64 = 2^6 2: med
67 = 67 67: good
67 = 67 67: good
73 = 73 73: good
73 = 73 73: good
75 = 3 5^2 3: good 5: med
75 = 3 5^2 3: good 5: med
75 = 3 5^2 3: good 5: med
76 = 2^2 19 2: med 19: good
76 = 2^2 19 2: med 19: good
81 = 3^4 3: good
81 = 3^4 3: good
90 = 2 3^2 5 2: med 3: good 5: med
90 = 2 3^2 5 2: med 3: good 5: med
94 = 2 47 2: med 47: med
94 = 2 47 2: med 47: med
97 = 97 97: good
97 = 97 97: good
100 = 2^2 5^2 2: med 5: med
100 = 2^2 5^2 2: med 5: med
100 = 2^2 5^2 2: med 5: med
100 = 2^2 5^2 2: med 5: med
106 = 2 53 2: med 53: med
106 = 2 53 2: med 53: med
108 = 2^2 3^3 2: med 3: good
115 = 5 23 5: med 23: med
115 = 5 23 5: med 23: med
115 = 5 23 5: med 23: med
115 = 5 23 5: med 23: med
120 = 2^3 3 5 2: med 3: good 5: med
120 = 2^3 3 5 2: med 3: good 5: med
121 = 11^2 11: bad
121 = 11^2 11: bad
129 = 3 43 3: good 43: good
129 = 3 43 3: good 43: good
138 = 2 3 23 2: med 3: good 23: med
138 = 2 3 23 2: med 3: good 23: med
139 = 139 139: good
139 = 139 139: good
142 = 2 71 2: med 71: med
142 = 2 71 2: med 71: med
144 = 2^4 3^2 2: med 3: good
144 = 2^4 3^2 2: med 3: good
145 = 5 29 5: med 29: med
145 = 5 29 5: med 29: med
145 = 5 29 5: med 29: med
145 = 5 29 5: med 29: med
147 = 3 7^2 3: good 7: bad
160 = 2^5 5 2: med 5: med
160 = 2^5 5 2: med 5: med
163 = 163 163: good
163 = 163 163: good
169 = 13^2 13: bad
169 = 13^2 13: bad
171 = 3^2 19 3: good 19: good
171 = 3^2 19 3: good 19: good
172 = 2^2 43 2: med 43: good
172 = 2^2 43 2: med 43: good
174 = 2 3 29 2: med 3: good 29: med
174 = 2 3 29 2: med 3: good 29: med
184 = 2^3 23 2: med 23: med
184 = 2^3 23 2: med 23: med
190 = 2 5 19 2: med 5: med 19: good
190 = 2 5 19 2: med 5: med 19: good
190 = 2 5 19 2: med 5: med 19: good
190 = 2 5 19 2: med 5: med 19: good
192 = 2^6 3 2: med 3: good
193 = 193 193: good
193 = 193 193: good
196 = 2^2 7^2 2: med 7: bad
196 = 2^2 7^2 2: med 7: bad
201 = 3 67 3: good 67: good
201 = 3 67 3: good 67: good
202 = 2 101 2: med 101: med
202 = 2 101 2: med 101: med
211 = 211 211: good
211 = 211 211: good
219 = 3 73 3: good 73: good
219 = 3 73 3: good 73: good
225 = 3^2 5^2 3: good 5: med
225 = 3^2 5^2 3: good 5: med
225 = 3^2 5^2 3: good 5: med
225 = 3^2 5^2 3: good 5: med
228 = 2^2 3 19 2: med 3: good 19: good
228 = 2^2 3 19 2: med 3: good 19: good
232 = 2^3 29 2: med 29: med
232 = 2^3 29 2: med 29: med
235 = 5 47 5: med 47: med
235 = 5 47 5: med 47: med
235 = 5 47 5: med 47: med
For fixed $Z$ you have a Pell-type equation in $X$ and $Y$; by the theory of such equations, if there is one solution to this there are infinitely many. In fact, if $(X,Y,Z)$ is one solution then $(5X+12Y,2X+5Y,Z)$ is another. The real question is for what values of $Z$ are there solutions?
EDIT: It appears that $X^2 - 6 Y^2 = Z^3$ has integer solutions if and only if $X^2 - 6 Y^2 = Z$ has solutions. One direction is easy: if $X^2-6 Y^2 = Z$ then $(XZ)^2 - 6 (YZ)^2 = Z^3$.
EDIT: The nonnegative integers $z$ for which $X^2 - 6 Y^2 = z$ has integer solutions are OEIS sequence A242661. On the other hand, you don't always have solutions with $\gcd(X,Y,z)=1$. The sequence of $z$ for which $X^2-6Y^2=z^3$ has such solutions is $1, 19, 25, 43, 67, 73, 97, 115, 139, 145, 163, 193, 211, 235, 241, 265, 283, \ldots$, which is not (yet) in OEIS.
This answer does not solve the problem. It only makes an observation at the elementary level. The constructed solution set is only a subset of the countable infinite solution set.
Let,
$$X=Ym, ~Z=Yn$$
$$\begin{align}&\implies Y^2(m^2-6)=Y^3n^3 \\ &\implies m^2-6=Yn^3 \\ &\implies Y=\frac{m^2-6}{n^3}\end{align}$$
If $n=1,~m≥3$, then
$$X=m(m^2-6),~Y=m^2-6, \\ Z=m^2-6 $$
$$X=m^3-6m,~ Y=m^2-6, \\ Z=m^2-6.$$
Setting (with Euler):
$x+y\sqrt{6}=(p+q\sqrt{6})^{3}$,
We get:
$x=p^{3}+18p.q^{2}$
$y=3p^{2}q+6q^{3}$
therefore
$z=p^{2}-6q^{2}$
with $(p,q)∈N$ and $p>q\sqrt{6}$
Ex.:
$(p,q)=(3,1)$, $(x,y,z)=(81,33,3)$;
$(p,q)=(4,1)$, $(x,y,z)=(136,54,10)$;
$(p,q)=(5,1)$, $(x,y,z)=(215,81,19)$;
$(p,q)=(5,2)$, $(x,y,z)=(485,198,1)$;
$(p,q)=( 2450,1000)$, $(x,y,z)=( 58806125000, 24007500000,2500)$.
Better looking output, I did some cutting and pasting to illustrate the double sequences..... Taking $w=1,$ the recipes are (A) $ (p+q \sqrt 6) = \left(x+y \sqrt 6\right)^3 \; , \; \;$ then (B) $ (p+q \sqrt 6) = (5+2 \sqrt 6) \left(x+y \sqrt 6\right)^3 \; . \; \;$
Show $\mathbb{Z}[\sqrt{6}]$ is a Euclidean domain
Recipe A: \begin{align} p &= w^3 (x^3 + 18xy^2) \\ q &= w^3 (3x^2y + 6y^3) \\ r &= w^2 (x^2 - 6y^2) \end{align}
Recipe B: \begin{align} p &= w^3 \color{blue}{(5x^3 + 36x^2y + 90xy^2 + 72y^3)} \\ q &= w^3 \color{green}{(2x^3 + 15x^2y + 36xy^2 + 30y^3)} \\ r &= w^2 (x^2 - 6y^2) \end{align}
Output for $r$ up to $27$ and then $817 = 19 \cdot 43.$ The thing we demand is double direction sequences obeying $p_{j+2} = 10 p_{j+1} - p_j.$ These begin large, shrink down then begin growing again. For some $z$ such as $1,$ the growing part merely duplicates the shrinking part, note how the numbers $485, 49, 5, 1, 5, 49, 485$ obey $p_{j+2} = 10 p_{j+1} - p_j.$
Let's see, $$ p^2 - 6 q^2 = r^3 \; . \; \; $$ The first number in each line is $r,$ I left off $q$ to save space. In this output all $w=1.$ There is no real need to have any other choice of $w,$ since we are already allowing $\gcd(x,y)$ to be arbitrary.
I mentioned $p_{j+2} = 10 p_{j+1} - p_j.$ Now that I have gotten rid of most repetition, notice how the same is true of every third value of $x,$ also every third value of $|y|$
1 p: 4517251249 B x: 485 y: 198 gcd 1
1 p: 456335045 A x: 485 y: 198 gcd 1
1 p: 46099201 B x: 485 y: -198 gcd 1
1 p: 4656965 B x: 49 y: 20 gcd 1
1 p: 470449 A x: 49 y: 20 gcd 1
1 p: 47525 B x: 49 y: -20 gcd 1
1 p: 4801 B x: 5 y: 2 gcd 1
1 p: 485 A x: 5 y: 2 gcd 1
1 p: 49 B x: 5 y: -2 gcd 1
1 p: 5 B x: 1 y: 0 gcd 1
1 p: 1 A x: 1 y: 0 gcd 1
3 p: 753651369 B x: 267 y: 109 gcd 1
3 p: 76134249 A x: 267 y: 109 gcd 1
3 p: 7691121 B x: 267 y: -109 gcd 1
3 p: 776961 B x: 27 y: 11 gcd 1
3 p: 78489 A x: 27 y: 11 gcd 1
3 p: 7929 B x: 27 y: -11 gcd 1
3 p: 801 B x: 3 y: 1 gcd 1
3 p: 81 A x: 3 y: 1 gcd 1
3 p: 9 B x: 3 y: -1 gcd 1
4 p: 37255720 B x: 98 y: 40 gcd 2
4 p: 3763592 A x: 98 y: 40 gcd 2
4 p: 380200 B x: 98 y: -40 gcd 2
4 p: 38408 B x: 10 y: 4 gcd 2
4 p: 3880 A x: 10 y: 4 gcd 2
4 p: 392 B x: 10 y: -4 gcd 2
4 p: 40 B x: 2 y: 0 gcd 2
4 p: 8 A x: 2 y: 0 gcd 2
9 p: 125738055 B x: 147 y: 60 gcd 3
9 p: 12702123 A x: 147 y: 60 gcd 3
9 p: 1283175 B x: 147 y: -60 gcd 3
9 p: 129627 B x: 15 y: 6 gcd 3
9 p: 13095 A x: 15 y: 6 gcd 3
9 p: 1323 B x: 15 y: -6 gcd 3
9 p: 135 B x: 3 y: 0 gcd 3
9 p: 27 A x: 3 y: 0 gcd 3
10 p: 1249335392 B x: 316 y: 129 gcd 1
10 p: 126208504 A x: 316 y: 129 gcd 1
10 p: 12749648 B x: 316 y: -129 gcd 1
10 p: 1287976 B x: 32 y: 13 gcd 1
10 p: 130112 A x: 32 y: 13 gcd 1
10 p: 13144 B x: 32 y: -13 gcd 1
10 p: 1328 B x: 4 y: 1 gcd 1
10 p: 136 A x: 4 y: 1 gcd 1
10 p: 32 B x: 4 y: -1 gcd 1
10 p: 184 B x: 8 y: -3 gcd 1
10 p: 1808 A x: 8 y: 3 gcd 1
10 p: 17896 B x: 8 y: 3 gcd 1
10 p: 177152 B x: 76 y: -31 gcd 1
10 p: 1753624 A x: 76 y: 31 gcd 1
10 p: 17359088 B x: 76 y: 31 gcd 1
12 p: 6029210952 B x: 534 y: 218 gcd 2
12 p: 609073992 A x: 534 y: 218 gcd 2
12 p: 61528968 B x: 534 y: -218 gcd 2
12 p: 6215688 B x: 54 y: 22 gcd 2
12 p: 627912 A x: 54 y: 22 gcd 2
12 p: 63432 B x: 54 y: -22 gcd 2
12 p: 6408 B x: 6 y: 2 gcd 2
12 p: 648 A x: 6 y: 2 gcd 2
12 p: 72 B x: 6 y: -2 gcd 2
16 p: 298045760 B x: 196 y: 80 gcd 4
16 p: 30108736 A x: 196 y: 80 gcd 4
16 p: 3041600 B x: 196 y: -80 gcd 4
16 p: 307264 B x: 20 y: 8 gcd 4
16 p: 31040 A x: 20 y: 8 gcd 4
16 p: 3136 B x: 20 y: -8 gcd 4
16 p: 320 B x: 4 y: 0 gcd 4
16 p: 64 A x: 4 y: 0 gcd 4
19 p: 1925229703 B x: 365 y: 149 gcd 1
19 p: 194487695 A x: 365 y: 149 gcd 1
19 p: 19647247 B x: 365 y: -149 gcd 1
19 p: 1984775 B x: 37 y: 15 gcd 1
19 p: 200503 A x: 37 y: 15 gcd 1
19 p: 20255 B x: 37 y: -15 gcd 1
19 p: 2047 B x: 5 y: 1 gcd 1
19 p: 215 A x: 5 y: 1 gcd 1
19 p: 103 B x: 5 y: -1 gcd 1
19 p: 815 B x: 13 y: -5 gcd 1
19 p: 8047 A x: 13 y: 5 gcd 1
19 p: 79655 B x: 13 y: 5 gcd 1
19 p: 788503 B x: 125 y: -51 gcd 1
19 p: 7805375 A x: 125 y: 51 gcd 1
19 p: 77265247 B x: 125 y: 51 gcd 1
25 p: 582120625 B x: 245 y: 100 gcd 5
25 p: 58806125 A x: 245 y: 100 gcd 5
25 p: 5940625 B x: 245 y: -100 gcd 5
25 p: 600125 B x: 25 y: 10 gcd 5
25 p: 60625 A x: 25 y: 10 gcd 5
25 p: 6125 B x: 25 y: -10 gcd 5
25 p: 625 B x: 5 y: 0 gcd 5
25 p: 125 A x: 5 y: 0 gcd 5
25 p: 43191059 B x: 103 y: 42 gcd 1
25 p: 4363183 A x: 103 y: 42 gcd 1
25 p: 440771 B x: 103 y: -42 gcd 1
25 p: 44527 B x: 11 y: 4 gcd 1
25 p: 4499 A x: 11 y: 4 gcd 1
25 p: 463 B x: 11 y: -4 gcd 1
25 p: 131 B x: 7 y: -2 gcd 1
25 p: 847 A x: 7 y: 2 gcd 1
25 p: 8339 B x: 7 y: 2 gcd 1
25 p: 82543 B x: 59 y: -24 gcd 1
25 p: 817091 A x: 59 y: 24 gcd 1
25 p: 8088367 B x: 59 y: 24 gcd 1
25 p: 80066579 B x: 583 y: -238 gcd 1
25 p: 792577423 A x: 583 y: 238 gcd 1
25 p: 7845707651 B x: 583 y: 238 gcd 1
27 p: 20977947 B x: 81 y: 33 gcd 3
27 p: 2119203 A x: 81 y: 33 gcd 3
27 p: 214083 B x: 81 y: -33 gcd 3
27 p: 21627 B x: 9 y: 3 gcd 3
27 p: 2187 A x: 9 y: 3 gcd 3
27 p: 243 B x: 9 y: -3 gcd 3
817 p: 1674697433 B x: 349 y: 142 gcd 1
817 p: 169178797 A x: 349 y: 142 gcd 1
817 p: 17090537 B x: 349 y: -142 gcd 1
817 p: 1726573 B x: 41 y: 12 gcd 1
817 p: 175193 A x: 41 y: 12 gcd 1
817 p: 25357 B x: 41 y: -12 gcd 1
817 p: 78377 B x: 61 y: -22 gcd 1
817 p: 758413 A x: 61 y: 22 gcd 1
817 p: 7505753 B x: 61 y: 22 gcd 1
817 p: 74299117 B x: 569 y: -232 gcd 1
817 p: 735485417 A x: 569 y: 232 gcd 1
817 p: 7280555053 B x: 569 y: 232 gcd 1
817 p: 187021517 B x: 169 y: 68 gcd 1
817 p: 18893017 A x: 169 y: 68 gcd 1
817 p: 1908653 B x: 169 y: -68 gcd 1
817 p: 193513 B x: 29 y: 2 gcd 1
817 p: 26477 A x: 29 y: 2 gcd 1
817 p: 71257 B x: 29 y: -2 gcd 1
817 p: 686093 B x: 121 y: -48 gcd 1
817 p: 6789673 A x: 121 y: 48 gcd 1
817 p: 67210637 B x: 121 y: 48 gcd 1