Question about $\lim _{q \rightarrow \infty}\|f\|_{q}=\|f\|_{\infty}$

Solution 1:

Assume $0<\|f\|_\infty<\infty$ and $f\in L_r$ or some $r>0$. Then $|f|/\|f\|_\infty<1$ a.s.. For $p>r$

$$\frac{|f|^p}{\|f\|^p_\infty}\leq \frac{|f|^r}{\|f\|^r_\infty}\in L_1$$

hence $p\in E:=\{s: \|f\|_s<\infty\}$. Integrating on both side leads to

$$\frac{\|f\|_p}{\|f\|_\infty}\leq\Big(\frac{\|f\|_r}{\|f\|_\infty}\Big)^{r/p}\xrightarrow{p\rightarrow\infty}1$$ That is $$\limsup_p\|f\|_p\leq \|f\|_\infty$$

By the Markov-Chebyshev inequality, for any $0<\alpha<\|f\|_\infty$

$$0<\alpha\big(\mu(|f|>\alpha)\big)^{1/p}\leq\|f\|_p$$

Hence $\alpha\leq\liminf_p\|f\|_p$ and so, $\|f\|_\infty\leq\liminf_p\|f\|_p$.

If $\|f\|_p=\infty$ and $f\in L_r$ for some $r>0$ then $0<\mu(|f|<n)\leq\frac{1}{n^r}\|f\|_r<\infty$ and so

$$0<n\big(\mu(|f|>n)\big)^{1/p}\leq\|f\|_p\quad\text{for}\quad p\geq r$$

This implies $n\leq\liminf_p\|f\|p$ for any $n\in\mathbb{N}$.