Proving $C_{X}=R_{X}-E\left(X\right)\left(E\left(X\right)\right)^{T}$ where $C_X,R_X$ are the Covariance matrix and Correlation matrix

$\mathsf E(X~\mathsf E(X)^\top)=\mathsf E(X)~\mathsf E(X)^\top$ by Linearity of Expectation, since $\mathsf E(X)^\top$ is a constant matrix.

$\mathsf E(\mathsf E(X)~X^\top)=\mathsf E(X)~\mathsf E(X)^\top$ likewise.

$\mathsf E(\mathsf E(X)~\mathsf E(X^\top))=\mathsf E(X)~\mathsf E(X)^\top$ too.

Also $\mathsf E(X)^\top=\mathsf E(X^\top)$, because the $i,j$ member of the expectation of the transposition, $\mathsf E(X^\top)$, will clearly be the $i,j$ member of the transposition of the expectation, $\mathsf E(X)^\top$.

Let $X=[x_{ij}]$. $$\begin{align}\mathsf E(X^\top) &=\mathsf E([x_{ij}]^\top)\\&=\mathsf E([x_{ji}])\\&=[\mathsf E(x_{ji})]\\&=[\mathsf E(x_{ij})]^\top\\&=\mathsf E([x_{ij}])^\top\\&=\mathsf E(X)^\top\end{align}$$